alzuhair.elektro

Motor induksi tiga fasa merupakan motor elektrik yang paling banyak digunakan dalam dunia industri. Salah satu kelemahan motor induksi yaitu memiliki beberapa karakteristik parameter yang tidak linier, terutama resistansi rotor yang memiliki nilai yang bervariasi untuk kondisi operasi yang berbeda, sehingga tidak dapat mempertahankan kecepatannya secara konstan bila terjadi perubahan beban. Oleh karena itu untuk mendapatkan kecepatan yang konstan dan peformansi sistem yang lebih baik terhadap perubahan beban dibutuhkan suatu pengontrol Motor induksi 3 fasa adalah alat penggerak yang paling banyak digunakan dalam dunia industri. Hal ini dikarenakan motor induksi mempunyai konstruksi yang sederhana, kokoh, harganya relatif murah, serta perawatannya yang mudah, sehingga motor induksi mulai menggeser penggunaan motor DC pada industri. Motor induksi memiliki beberapa parameter yang bersifat non-linier, terutama resistansi rotor, yang memiliki nilai bervariasi untuk kondisi operasi yang berbeda. Hal ini yang menyebabkan pengaturan pada motor induksi lebih rumit dibandingkan dengan motor DC. Salah satu kelemahan dari motor induksi adalah tidak mampu mempertahankan kecepatannya dengan konstan bila terjadi perubahan beban. Apabila terjadi perubahan beban maka kecepatan motor induksi akan menurun. Untuk mendapatkan kecepatan konstan serta memperbaiki kinerja motor induksi terhadap perubahan beban, maka dibutuhkan suatu pengontrol. Penggunaan motor induksi tiga fasa di beberapa industri membutuhkan performansi yang tinggi dari motor induksi untuk dapat mempertahankan kecepatannya walaupun terjadi perubahan beban. Salah satu contoh aplikasi

motor induksi yaitu pada industri kertas. Pada industri kertas ini untuk menghasilkan produk dengan kualitas yang baik, dimana ketebalan kertas yang dihasilkan dapat merata membutuhkan ketelitian dan kecepatan yang konstan dari motor penggeraknya, sedangkan pada motor induksi yang digunakan dapat terjadi perubahan beban yang besar. Beberapa penelitian pengaturan kecepatan motor induksi yang telah dilakukan antara lain oleh Brian heber, Longya Xu dan Yifan tang (1997) menggunakan kontroller logika fuzzy untuk memperbaiki performansi kontroller PID pada pengaturan kecepatan motor induksi. Demikian juga penelitian yang dilakukan oleh Mohammed dkk(2000) mengembangkan kontroller fuzzy yang digunakan untuk menala parameter PI. Kontroller fuzzy juga dikembangkan pada penelitian yang dilakukan Chekkouri MR dkk (2002) dan Lakhdar M & Katia K (2004) dengan melengkapi mekanisme adaptasi pada kontroller fuzzy pada pengaturan motor induksi. Pada penelitian ini dirancang suatu pengaturan kecepatan motor induksi 3 fasa dengan menggunakan pengontrol adaptif fuzzy. Dengan adanya pengaturan kecepatan ini diharapkan kecepatan motor induksi dapat konstan sesuai yang diinginkan, walaupun mendapat perubahan beban, sehingga menghasilkan performansi motor induksi yang tinggi .

A. Pendahuluan

Diferensiasi parsial merupakan bagian penting dalam perhitungan serta anlisis bidang teknik. Penentuan kebesaran teknik, dalam hal ini teknik elektro tergantung atau fungsi dari beberapa variabel, misal hambatan (R) tergantung dari panjang (l) dan penampang (A) termasuk juga hambatan jenis, tegangan (V) fungsi dari arus (I) dan hambatan (R). Penentuan besaran listrik tersebut ada kalanya salah satu variabel berubah dan variabel yang lain konstan atau kedua variabelnya berubah, maka penyelesaian dengan diferensiasi parsial sangatlah tepat.

B. Diferensiaisi Parsial

Volume V suatu silinder berjari-jari r dengan

Tinggi h adalah:

V h V = π r² h

V bergantung pada dua besaran (variabel),

yaitu r dan h

Jika r dijaga tetap (konstan) dan tinggi h berubah (bertambah/berkurang), maka volume V dapat ditentukan dengan cara menghitung koefisien diferensial V terhadap h

r konstan ditulis dalam bentuk diferensial parsial

Untuk h konstan diferensial parsial dari V adalah:

Hal nin tidak berlaku hanya untuk besaran silinder, tapi bisa digunakan untuk sembarang besaran dengan dua ataulebih besaran,

contoh

1. z = x² y³

Tentukan ∂z/∂x dan ∂z/∂y

Jawab:

∂z/∂x = 2xy³

∂z/∂y = x² 3y² = 3x² y²

2. z = sin (3x + 2y) tentukan

dan

Jawab

= cos(3x + 2y).3 = 3cos(3x + 2y)

= cos(3x + 2y).2 = 2cos(3x + 2y)

Untuk latihan silahkan kerjakan berikut ini

z = 4x² + 3xy + 5y²
z = (3x + 2y)(4x – 5y) kerjakan dengan rumus perkalian y = u.v
z = tg(3x + 4y)
z = sin(3x + 2y)/xy kerjakan dengan rumus pembagian y = u/v

Bila dikehendaki untuk mencari turunan parsial kedua dari suatu fungsi, maka akan diperoleh turunan atau diferensiasi parsial lengkap sbb;

Contoh

z = 3x² + 4xy – 5y²

Tentukan diferensial parsial pertama dan kedua secara lengkap

Jawab:

sehingga cukup dicari salah satu

C. Pertambahan Kecil

Volume V suatu silinder berjari-jari r dengan

Tinggi h adalah V = π r² h:

V h

r berubah menjadi r + δr dan h berubah menjadi h + δh, maka V akan berubah V + δV. Volume berubah menjadi

V + δV = π(r ₊δr)²(h + δh)

= π (r² + 2r. δr + δr²) (h + δh)

= π (r² h + 2rhδr + hδr² + r² δh + 2rδrδh + δr² δh)

V = r² h, sehingga

δV = π(2r hδr + hδr² + r² δh + 2rδrδh + δr² δh)

Perkalian dua atau tiga perubahan kecil akan sangat kecil dan dapat diabaikan, sehingga besarnya perubahan V dianggap menjadi

δV = 2 π r hδr + π r² δh

δV =

δr +

δh

Contoh Untuk dalam bidang teknik listrik

I = V/R, dengan V = 250 volt, R = 50 ohm, tentukan perubahan I jika V bertambah 1 volt dan R berkurang 0,5 ohm

Diket: Arus listrik I = V/R

V = 250 volt, R = 50 ohm

δV = 1 volt dan δR = - 0,5 ohm

Ditanya: Perubahan arus (I)

Jawab: I = V/R

= 1/R = 1/50 = 0,02

δV =

δV +

δR

= 0,02 .1 + (-0,1) 0,5 = - 0,03

Jadi arus listrik turun (berkurang) 0,03 amper

D. Kecepatan Perubahan

Silinder dengan volume V = π r² h

Volume V suatu silinder berjari-jari r dengan

Tinggi h adalah V = π r² h:

V h

δV =

δr +

δh

Bila kedua ruas dibagi δt diperoleh

untuk δt 0 , maka diperoleh

Contoh 1

Jari-jari silinder bertambah dengan kecepatan 0,2 cm/det, tingginya berkurang dengan kecepatan 0,5 cm/det. Tentukan kecepatan perubahan volume pada saat r = 8 cm dan h = 12 cm

Diket: sebuah silinder

r = 8 cm, h = 12 cm

= 02

= - 0,5

Ditanya: Kecepatan perubahan volume (

)

Jawab:

= 2π.r.h = 2π 8. 12 = 192 π

= π.r² = π.8² = 64 π

= 192π (0,2) + 64π (- 0,5)

= 38,4π – 32 π = 6,4 π

= 20,1

Jadi volume bertambah dengan kecepatan 20,1 cm³ /det

E. Penggantian Variabel

Apabila z fungsi dari x dan y, z = f (x, y), sedangkan x dan y fungsi dari u dan v, dengan demikian z juga fungsi dari u dan v, sehingga dapat ditentukan juga

dan

, dengan cara

z = f (x, y), δz =

δx +

δy

Kedua ruas dibagi δu

Bila δu 0, diperoleh

dan

Contoh

z = x² + y² , dengan x = r cosθ dan y = r sin 2θ, tentukan

dan

Jawab:

Dan

= 2x

= 2y

= cosθ

= sin 2θ

= 2x cosθ + 2y sin 2θ

Dan

= - r sinθ

= 2 r cos 2θ

= 2x (- r sinθ) + 2y (2 r cos 2θ)

= 4 yr cos 2θ - 2 xr sinθ

Hitung Integral (Integrasi)

A. Pendahuluan

Hitung integral atau integrasi merupakan operasi yang cukup penting di dalam percaturan analisis bidang teknik elektro. dapat dikatakan hamper seluruh aspek perhitungan pada bidang studi teknik elektro akan melibatkan prinsip dasar integrasi.

Tentu Anda sudah cukup akrab dengan prinsip dasar integrasi, dalam kesempatan ini kita coba untuk mematangkannya. sebelum melangkah lebih jauh, mari kita ingat prinsip dasar integrasi: Interasi adalah kebalikan diferensial: sebagai contoh:

, maka dalam hal ini dapat dikatakan bahwa integral dari 3x² terhadap x menghasilkan lagi fungsi asalnya, yaitu:

. Tetapi jika kita harus mencari

tanpa mengetahui asal-usulnya, kita tidak memiliki petunjuk terkait dengan harga konstannya, karena semua jejak telah hilang dalam koefisien diferensialnya. Sehingga yang dapat kita lakukan hanyalah menyatakan suku konstannya dengan sebuah simbol, misalnya C.

Jadi, pada umumnya

Pencantuman konstanta (C) = konstanta integrasi dalam hasil pengintegralan menjadi sangat penting dan wajib dituliskan.

B. Integral-integral Baku

Integral baku memiliki ciri khusus yang bersifat dasar, sifat dasar tersebut seperti terlihat pada daftar koefisien diferensial dasar dan integral-integral dasar sebagai berikut:

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Contoh-contoh soal dan penyelesaikan:

10.

C. Fungsi dari suatu fungsi linier dalam x

Seringkali kita harus mengintegrasikan fungsi-fungsi yang bentuknya sama seperti dalam daftar baku, tetapi dengan x yang digantikan oleh fungsi linear x, misalkan:

; hal ini sangat mirip dengan

, hanya x digantikan dengan (5x – 4).

Untuk menyiasati hal tersebut kita buat spesifikasi bentuk yang demikian langsung dengan contoh-contoh.

Contoh 1.

Contoh ini memberikan petunjuk bagi kita bahwa hal itu bersesuaian dengan integral baku:

Nyata terlihat bahwa, jika x digantikan dengan (5x – 4), maka aturan "pangkatnya" masih berlaku, yaitu hasil pangkat x diganti dengan (5x – 4); tetapi kita harus membaginya dengan koefisien x, dalam hal ini 5.

;

hal ini selalu demikian bila kita mengintegrasikan fungsi dari suatu fungsi linear dalam x.

Contoh 2.

Contoh 3.

Contoh 4.

Contoh 5.

Contoh 6.

Contoh 7.

Contoh 8.

D. Integral dalam bentuk dan

Kita tinjau integral

; integral ini tidak tergolong dalam integral baku. Ini adalah salah satu integral yang sangat mudah dikerjakan, tetapi juga tergantung kepada ketajaman pikiran Saudara.

Kita perhatikan: bahwa jika kita definisikan penyebutnya, maka kita peroleh pembilangnya. Karena itu, misalkan penyebutnya kita tanyakan dengan Z, x² + 3x – 5.

dan kita tahu bahwa

Identik dengan itu:

Jadi sembarang integral yang pembilangnya adalah koefisien diferensial dari penyebutnya akan termasuk ke dalam bentuk

Contoh 1.

Contoh 2.

Contoh 3.

Contoh 4.

Contoh 5.

Hampir serupa dengan itu kadang-kadang kita berjumpa dengan integral seperti:

Tentu saja hal ini bukan pembagian, melainkan perkalian; tetapi perhatikan bahwa fungsi yang satu (sec² x) adalah koefisien diferensial dari fungsi yang lain(tan x).

Jika kita misalkan z = tan x, maka dz = sec² x dx dan integralnya sekarang dapat dituliskan sebagai ò z dz yang menghasilkan

jadi di sini kita berhadapan dengan perkalian yang salah satu faktornya merupakan koefisien diferensial dari faktor yang lain kita menuliskannya sebagai:

bentuk ini serupa dengan ò z dz yang menghasilkan

Contoh-contoh berkaitan dengan bentuk ini adalah sebagai berikut:

Contoh 1.

Contoh 2.

Contoh 3.

Contoh 4.

E. Integrasi Parsial

Seringkali kita harus mengintegrasikan suatu perkalian fungsi yang masing-masing fungsinya bukan koefisien difrensial dari yang lain. sebagai contoh, misalnya dalam hal

, ln x bukanlah koefisien diferensial dari x² ; x² bukanlah koefisien diferensial dari dari ln x. Dalam keadaan seperti ini, kita harus mencari suatu cara lain untuk menangani integral tersebut. Aturan untuk hal demikian adalah sebagai berikut:

Jika u dan v adalah fungsi x, maka kita ketahui bahwa

Sekarang kita inegrasikan kedua ruasnya terhadap x. Di ruas sebelah kiri kita peroleh kembali fungsi asalnya.

dan bila suku-sukunya kita susun kembali:

Hal di atas adalah kunci untuk cara penyelesaian integral parsial. Untuk mudahnya, hubungan tersebut dapat dihafalkan dalam bentuk:

bentuk ini lebih mudah diingat, tetapi bentuk sebelumnya memberikan artinya secara lebih terperinci. cara ini dikenal sebagai cara integrasi perbagian (integration by heart- kadang-kadang diterjemahkan sebagai integrasi parsial).

Contoh 1.

Selesaikan: ò x² . ln x dx

Penyelesaian; misalkan ln x = u dan x² = dv

Perhatikan bahwa jika salah satu faktor dalam suatu perkalian yang harus diintegrasikan berbentuk logaritma maka faktor ini harus dipilih sebagai u.

Contoh 2.

Selesaikanlah: ò x² e^3x dx

Penyelesaianya; Misalkan u = x² dan dv = e^3x

maka ò x² e^3x dx =

Dalam contoh 1 kita lihat bahwa jika salah satu faktornya adalah fungsi logaritma, maka fungsi logaritma tersebut harus dipilih sebagai u.

dalam contoh 2 kita lihat bahwa, asalkan tidak ada factor logaritma, x dipilih sebagai u. (Cara ini berlaku baik hanya jika pagkat x-nya bulat dan positif. Untuk pangkat lain biasanya harus dipilih cara lain).

Contoh 3.

Selesaikanlah:

Penyelesaian: misalkan u = e^3x dan dv = sin x

maka

Nampaknya kita kembali ke bentuk semula. Tetapi baiklah kita misalkan:

sehingga:

selanjutnya: 10

Setiap kali kita mengintegrasikan fungsi yang berbentuk e^kx sin x atau e^kx cos x maka kita akan memperoleh kembali bentuk yang serupa setelah menerapkan kaidah ini dua kali.

Tiga buah contoh yang baru saja kita pelajari memungkinkan kita membentuk urutan prioritas untuk u, yaitu:

Jika salah satu faktornya adalah fungsi logaritma, maka ia harus diambil 'u'.
Jika tidak ada fungsi logaritma, tetapi ada fungsi pangkat x, amka fungsi pangkat ini yang diambil sebagai 'u'.
Jika tidak ada fungsi logaritma maupun fungsi pangkat x, maka fungsi eksponensial ini diambil sebagai 'u'.

Dengan mengingat urutan prioritas ini, banyak kesalahan awal dapat dihindarkan.

F. Integrasi dengan Pecahan Parsial

Misalkan kita harus mengintegrasikan

Dalam hal seperti ini, pertama-tama kita nyatakan dahulu bentuk pecahan aljabar yang agak menjemukan ini ke dalam pecahan parsialnya, yaitu sejumlah pecahan aljabar yang lebih sederhana yang kemungkinan besar akan dapat kita tangani tanpa kesulitan.

Kenyataannya:

dapat dinyatakan sebagai

Sehingga

Cara ini tentu saja bergantung kepada kemampuan seseorang untuk menguraikan fungsi yang diberikan ke dalam bentuk pecahan parsialnya.

Kaidah pecahan parsial ini adalah sebagai berikut:

(a) pembilang dari fungsi yang diberikan harus lebih rendah derajatnya dari pada derajat penyebutnya. Jika tidak demikian, maka kita harus membaginya dahulu dengan pembagian biasa.

(b) Faktorkanlah penyebutnya menjadi faktor-faktor primanya. Hal ini sangat penting karena faktor-faktor yang diperoleh ini akan menentukan bentuk pecahan parsialnya.

(d) Faktor (ax + b)² akan memberikan pecahan parsial

(e) Faktor (ax + b)³ akan memberikan pecahan parsial

(f) Faktor kuadrat (ax² +bx + C) akan memberikan pecahan parsial

Contoh 1.

Selesaikanlah:

Penyelesaian:

Kalikanlah kedua ruasnya dengan penyebutnya (x -1)(x-2).

x + 1 = A(x – 2) + B (x – 1)

ambil (x – 1) = 0, artinya kita subtitusikan x = 1

ambil (x – 2) = 0, artinya kita subtitusikan x = 2

jadi sekarang integralnya dapat dituliskan sebagai:

= 3 ln (x – 2) – 2 ln (x – 1) + C

Contoh 2.

Selesaikanlah:

Penyelesaian:

x² = A (x – 1)² + B (x + 1)(x – 1) + C (x + 1)

ambil (x – 1) = 0, yaitu x = 1; 1 = A (0) + B (0) + C (2); C = ½

ambil (x + 1) = 0, yaitu x = - 1; 1 = A (4) + B (4) + C (0); A = ¼

setelah subtitusi semacam ini selesai, kita dapat menentukan konstanta sisanya (dalam hal ini hanya B) dengan menyamakan koefisiennya. Pilihlan pangkat tertinggi yang ada, yaitu x² dalam contoh ini

[x²]; 1 = A + B ; B = 1 – A = 1 – ¼; B = ¾

Jadi

Contoh 3.

Tentukanlah:

Penyelesaian:

Ambil (x + 2) = 0, yaitu x = -2

4 + 1=A (0) + B (0) + C (0); C = 5

Tidak ada kurung lain dalam identitas ini, karena itu kita mulai saja menyamakan koefisien; mulai dengan pangkat tertinggi, yaitu x².

x² + 1 = A . (x + 2 )² + B (x + 2) + C

[x²] \1 = A; A = 1

Kemudian kita tinjau ekstrim yang lain dan kita samakan koefisien pangkat yang terendah, yaitu suku konstanta (atau suku mutlak) pada kedua ruanya.

[SK] \ 1 = 4 A + 2 B + C

\ 1 = 4 + 2 B + 5; B = -4

Jadi:

Contoh 4.

Tentukanlah

Penyelesaian:

x² = (x² + 1) + (x – 2) (Bx + C)

ambil (x – 2) = 0, yaitu x = 2 : 4 = A (5) + 0; A 4/5

[x²] 1 = A + B ; B = 1 – A = 1 – 4/5 ; B = 1/5

[SK] 0 = 1 – 2 C ; C = a/2 ; C = 2/5

Jadi:

G. Integrasi fungsi-fungsi Trigonometri

Integral fungsi-fungsi trigonometri pada dasarnya memanfaatkan keterampilan kita dalam penguasaan identitas trigonometri dan penggunaan rumus baku integrasi.

Dua hal pokok dalam integrasi fungsi-fungsi trigonometri adalah menyelesaikan integrasi pangkat sin x dan cos x, dan perkalian sinus x dan cosinus x. lebih jelas dapat dilihat dua buah contoh di bawah.

Contoh 1.

Tentukanlah: